Algèbre linéaire Exemples

$(x + y + z) = 2$ , $(2 x + y - z) = - 1$ , $(5 - 2 z) = x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, 5 - 2 z = x$

Étape 2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z = x - 5$

Étape 3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x + y + z = 2, 2 x + y - z = - 1, - 2 z - x = - 5$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Étape 5

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 5.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 2 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Étape 5.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 & 0 & - 2 & - 5 \end{array}]$

Étape 5.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 5.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & - 5 + 1 \cdot 2 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & - 3 & - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ - 0 & - - 1 & - - 3 & - - 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 5.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 5.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - 3 & - 3 - 5 \end{array}]$

Étape 5.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & - 4 & - 8 \end{array}]$

Étape 5.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 5.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot - 8 \end{array}]$

Étape 5.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 5.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 2 - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 2$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(1, - 1, 2)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}]$